極限の発展問題アラカルト

【1】

$\rm OA_1=OB_1=\angle B_1OA_1=\theta$ $(0< \theta < \pi )$であるような二等辺三角形$\rm  OA_1 B_1$ がある。辺$\rm A_1 B_1$の中点を$\rm B_2$ とし,辺$\rm OA_1$ 上に$\rm OA_2=OB_2$ となる点$\rm A_2$ をとり,二等辺三角形$\rm OA_2B_2$ をつくる。以下同様にして,$n>2$についても二等辺三角形$\rm OA_n B_n$を作っていく。辺$\rm OA_n$ の長さを$a_n$ とおく。
(1) $a_3\cdot \sin \frac{\theta}{4}$ を計算せよ。
(2) $\displaystyle \lim _{n\to \infty} a_n$を計算せよ。

【2】

半径1の円に内接する$3n$個の半径の等しい円を図1のように描く。さらに図2のように$3n$個の小さな半径の等しい円を描く。この操作を無限に繰り返したとき,$3n$個ずつ次々に描かれる円の面積の総和$S_n$と,それらの円の円周の長さを総和$C_n$を求めよ。ただし,$n\geqq 2$とする。

【3】

$-\pi \leqq x\leqq \pi$のとき,無限級数
$\sin^2x+\sin^2x\cos^3x+\sin^2x\cos^6x+$ $\cdots\cdots$ $+\sin^2\cos^{3(n-1)}x+\cdots\cdots$
の和を$f(x)$とする。
$f(x)$の増減を調べ,$y=f(x)$のグラフを描け。

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極限発展問題アラカルト【問題】
極限発展問題アラカルト【解答】

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